− Gregoryban és Davidben is egyaránt van valami gyermeki, ezzel nem arra gondolok, hogy gyerekes lenne a viselkedésük − mesélte Gregory felesége, Christine Pardo Chudnovsky egy fülledt vasárnapon az ebédlőasztalnál. − Minden egyes megnyilvánulásukban van valamennyi játék és egy bizonyos mennyiségű együgyűség is.
Hat évvel fiatalabb, mint Gregory, akkor ismerkedtek össze, mikor a Barnard College hallgatója volt.
− Azonnal beleszerettem Gregoryba. Betegsége mellékes volt.
Még mindig szereti Gregoryt, habár néha veszekszenek a papírhalmok miatt.
− Nincs egy saját szobám, ahová a dolgaimat tehetném.
Beszélgetésünk közben is dobozpiramisok és papírhegyek álltak az ablakon beszűrődő fény útjába, miközben a felmelegedett elektromos alkatrészek jellegzetes szaga terjengett a szobában.
− Ez a lakás jó példa a matematikát kiszolgáló családi életre!
Éjjelente arról álmodik, hogy szobáról szobára táncol az üres lakás parkettázott padlóján.
David kihozta édesanyját a hálószobájából, leültette az asztalhoz és arconcsókolta. Malka Benjaminova törékenynek látszott, de éber volt. Egy kicsi, ősz hajú asszony üde arccal és tiszta kék szemmel, aki alig beszél angolul. Egy matematikus egyszer úgy nyilatkozott, hogy Malka Benjaminova az a bizonyos ragasztó, amely a Chudnovsky családot összetartja. A második világháború alatt építészként dolgozott az Ural-hegységben felállított "Katyusa"-rakétát kifejlesztő és tesztelő épületkomplexumon. Később Kijev mellett tanított.
Egy tálcával kínált, rajta sült csirke, kása, savanyúság, krémsajt, barna kenyér, és egy másikféle, fóliába csomagolt szeletelt sajt is.
− Anyuka azt gondolja, hogy nem kapsz eleget enni − fordult felém Christine.
Malka Benjaminova elém csúsztatott egy joghurtot is.
Ebéd után a testvérekkel átmentünk m-zero szobájába, a forróság centrumába. A helyiség az Amazonas déli forróságával és apró, ismeretlen neszekkel vett körül minket. A lemezmeghajtók kattogtak, piros fények villogtak mindenfelé, a légkondícionáló zümmögött és ventilátorok tucatjai kavarták a levegőt. Gregory a botjára támaszkodott és merengve szemlélte a gépet.
− Éppen több feladatot is végez egyszerre − mondta. − Nem tudom, most éppen mit. Valamiféle számtani feladatot. Azt hiszem, a π néhány számjegyén dolgozik.
− Ülj le, Gregory, el fogsz esni! − mondta David.
− Szerinted mit csinál?
− Villog valami.
− Hamarosan lefagy.
− Valami különös zajt hallok.
− Biztosan hallod? Istenem! Ez olyan, mint a múltkor.
− Ez az!
− Lefagyott! Vége!
− Ülj már le, Gregory, az Isten szerelmére!
Gregory leült egy székre és szakállát húzgálta.
− Mit csináltam közvetlenül a hiba előtt? Isten segítségével rá fogok jönni.
Jegyzetelt valamit a füzetébe.
David kinyitott egy papírdobozt a késével és kivett belőle egy integrált áramkörökkel teli kártyát, majd behelyezte m-zero-ba. Gregory bebújt az asztal alá.
− A fene! − mondta.
− Gregory! Megint tönkretetted!
− Dave! Dave, add már ide a zseblámpát!
David benyújtotta lámpáját az asztal alá. Gregory összekapcsolt néhány kábelt és felállt.
− Hú! Ez nagyon kényelmetlen. David! Indítsd újra!
− Ülj már le egy kicsit!
Gregory belehuppant egy fotelba.
− Dolgozni fog − mondta David gépelés közben.
− Minden rendben lesz.
m-zero az egyik monitoron helyeselt: "A rendszer üzemkész."
− Aah! − sóhajtott fel David.
A háttértárolók elkezdtek kattogni, és a párhuzamos processzorok halkan szorozták és összegezték a hatalmas számokat. Gregory az ágy felé indult, közben David a karjával tartotta.
A szobájában, a búvóhelyén, a papírhalmok között, Gregory lerúgta papucsát, hátradőlt az ágyon és a jövőbe tekintett:
− A Giga FLOP szuperszámítógépek mára már szinte elavultnak számítanak. Amire szükség van, az egy Tera FLOP gép. Ez a gép már ezer-milliárd lebegőpontos számtani műveletet képes elvégezni másodpercenként, ami már ezerszer gyorsabb, mint egy Cray Y-MP8. Monty Denneau az IBM-nél éppen egy Tera FLOP gépet tervez, amely egy négy méter széles házú párhuzamos gép lesz. Hatvannégyezer Cray teljesítményű processzor lesz beépítve, és egy olyan összetett hálózaton keresztül kapcsolódnak egymáshoz, amelynek kapcsolási teljesítménye akkora, mint az Egyesült Államok teljes telefonhálózatáé. Ez valószínűleg 1993-ra készült el. Még ennél is jobb a Peta FLOP gép. A Peta FLOP gép milliószor milliárd lebegőpontos műveletet végez másodpercenként, így ezerszer gyorsabb, mint egy Tera FLOP gép, vagy milliószor gyorsabb, mint egy Cray Y-MP8. A Peta FLOP gép 2000 körülre várható vagy talán még hamarabb. Ez egy 30 m átmérőjű gömb lesz, amely fényeket és tükröket használ és az adathálózata rézvezetékek helyett optikai kábelekből áll. Ekkorra egy Giga FLOP számítógép már egyetlen integrált áramkör lesz. A Peta FLOP gépet valószínűleg főleg saját magához hasonló gépek tervezéséhez fogják használni.
−− • −−
A XIX. században a matematikusok emberi erőforrásokkal próbálták a π-t meghódítani. A legnagyobb tehetség a hamburgi Johann Zacharias Dase volt. Dase a nagyobb számok szorzását is fejben végezte, több élő bemutatót is tartott Németországban, Dániában, Angliában és bérbeadta magát más matematikusoknak. Valaki egyszer megkérte, hogy végezze el a 79.532.853 * 93.758.479 szorzást fejben, amire Dase 54 másodperc után helyes választ adott. Kiszámította egy ezer jegyű szám négyzetgyökét 52 perc alatt, és összeszorzott két ezer jegyű számot nyolc és háromnegyed óra alatt. Dase a számításokon képes volt hetekig dolgozni, mint egy kezelő személyzet nélküli szuperszámítógép. Általában lefekvés előttig számolt, majd a részeredményeket alvás közben fejben tartva reggel folytatta a munkát. Néha neki is volt "rendszer összeomlása". 1845-ben Dase Heinrich Christian Schumacher matematikus-csillagásznak mutatta be tudását, amikor az hibákat talált az elvégzett szorzási feladatokban. Dase fejfájásról panaszkodott Schumachernek. Schumacher feljegyezte, hogy Dase kevéssé járatos az elméleti matematikában. Julius Petersen matematikus egyszer hat hétig tanította Dase-t az Euklideszi-geometria alapjaira, de hiába, az elméleti dolgok teljesen érthetetlennek bizonyultak számára. Mivel a nagy számokat jól kezelte, 1844-ben L. K. Schulz von Strassnitsky felbérelte őt a π kiszámításához. Dase fejben végezte a számításokat, majd két hónapi agymunka után leírta a π első kétszáz tizedesjegyét, ami világrekord volt.
A legtöbb matematikus számára a π és a hozzá hasonló matematikai fogalmak valamilyen külső, objektív valóság részei. A számok időn és téren kívüli dolognak tűnnek, felülmúlják az egész világegyetemet, és még akkor is léteznének, ha maga a világegyetem nem. Valószínű, hogy a szívük mélyéig elhivatott matematikusok mind hisznek abban, illetve bizonyítatlanul is tényként fogadják el, hogy a matematikai valóság a világegyetemtől függetlenül létezik és legalább olyan valódi, mint az anyagi világ; sőt, ahogy Platón következtetett, valószínűleg emiatt olyan a világ, amilyen. Hihető, hogy a legtöbb matematikus egyetért abban, hogy a kör kerületének és átmérőjének a hányadosa természetfelettiként él a természetben, és létezne akkor is, ha az emberi elme nem fedezi fel azt, és még akkor is, ha Isten nem veszi a fáradtságot, hogy megteremtse azt. Bizonyos, hogy a π már a jelenlegi világegyetem létrejötte előtt is létezett és megmarad annak megszűnése után is. Néhány matematikus véleménye szerint, amíg Isten létezésében kételkedhetünk, a π Istentől függetlenül bizonyosan létezik, illetve a kör létezésében nincs okunk kételkedni.
− Bizonyos mértékben a π sokkal inkább létező, mint a gép, amelyikkel kiszámítjuk azt − jegyezte meg Gregory. − Platónnak igaza van. A π egy természeti objektum. A természettel együtt létezik. Amit csinálunk, az is inkább a kísérleti fizikához van közelebb, úgy is mondhatnánk, hogy "felfedezzük" a π-t. Mióta elkezdtük ezt a munkát, számomra a π már sokkal inkább tűnik a természet egy részének. A π felfedezése könnyebb, mint a fizikai jelenségek tanulmányozása. Itt a dolgok matematikailag bizonyíthatóak, míg a fizikai bizonyítások nehézkesek. És, sajnálatos módon a fizikai törvények generációról generációra változnak.
− Művészet-e a matematika? − kérdeztem tőle.
− A matematika részben művészet, annak ellenére, hogy természettudomány. A matematika egy teljes egészében létező dolog. A lényege a meghatározásokban van, amelyek nem Isten által adottak, viszont szimbólumok segítségével bemutathatóak. Aki el tudja helyezni elméjében az így megalkotott fogalmakat, megérti, mi a matematika.
−− • −−
A matematikusok szétválogatták a számokat azok értelmezhetősége szerint. Az egyik csoportba az úgynevezett racionális számok kerültek. A racionális számok egész számok hányadosaiként keletkeznek: 1/1, 1/3, 3/5, 10/71... Ha átalakítjuk őket tizedes tört alakba, akkor periodikusan ismétlődő számjegyeket kapunk: 1/3 = 0,33333... Egy másik ilyen csoport az irracionális számokból áll, amelyek nem vezethetők vissza osztásra és tizedesjegyeik rendszertelenül ismétlődnek a végtelenségig.
A kettő négyzetgyöke irracionális szám. Lehetetlen felírni két egész szám hányadosaként. Feltehetően már az i.e. 500 körül rájött erre Hippasus egy tengeri utazása során, néhány Püthagorasz-követő matematikus társaságában. Püthagorasz követői hittek benne, hogy a természetben előforduló számok mind felírhatók két egész szám hányadosaként. Társai a tengerbe vetették Hippasust, amiért zátonyra futtatta elméletüket. A kettő négyzetgyöke tizedestört alakban: 1,41421..., és ez véletlen számjegyekkel a végtelenbe tart, hasonlóan a π-hez. A számjegyek reménytelen összevisszasága nem mutat semmilyen rendszert vagy mintázatot. A négyzetgyök kettő nem transzcendentális szám, mert megadható egy egyenlet megoldásaként. Az x2 = 2 egyenlet megoldása a gyök kettő. Ez, és az ehhez hasonló számok az algebrai számok.
A π egy irracionális szám, ugyanis nem írható fel két egész szám hányadosaként, de ami még ennél is fontosabb, nem fejezhető ki véges algebrai egyenlettel. Másképpen: nincs olyan egész számok véges sorozatából felépített egyenlet, amelynek a megoldása pontosan a π lenne. Ha az egyenletek vonatok a számok földjén, a π-nél nem áll meg egy vonat sem.
A π meghatározhatatlan és csak racionális közelítő eljárásokkal érhető el adott pontossággal. A közelítő eljárások csak a szám körül lebegnek, közelednek hozzá, de nem érik el. Bármely egyenlet, amely a π-hez közelít egy végtelen műveletláncot tartalmaz, egy végtelen sorozatot. 1674-ben Gottfried Wilhelm Leibniz (a differenciálszámítás megalkotója, Newtonnal egyidőben) felfedezett egy rendkívüli számsorozatot, amely a körből származik. A Leibniz-sorozat a XVII. század egyik legszebb felfedezése:
Így következnek a páratlan nevezőjű törtek a végtelenségig, majd az egészet összeadva adódik a π negyed része. Persze, mivel a végtelen elérhetetlen, a π is elérhetetlen.
A matematikusok szerint ez a tény, hogy racionális számok összege ilyen geometriai jelentéssel bír, erősen misztikus színezetű.
A π felfedezésének egyik lépéseként Gregory Chudnovsky zsebszámológépével kiszámította a Leibniz-sorozatot. Ez könnyű volt és látszott, hogy az eredmény lassan a π felé tart. A részeredmények felváltva a π fölött és alatt helyezkednek el: 2,66; 3,46; 2,89; 3,34..., és folyamatosan közelednek a π-hez. Matematikai nyelven fogalmazva a sorozat a π-hez konvergál. Persze soha sem éri el.
Bármilyen sok energiát és számítási teljesítményt fektetve a Leibniz-sorozat kiszámításába, az eredmény csak egy racionális szám lesz közel a π-hez.
A transzcendentális számok a végtelenbe tartanak, és mindig végtelen hoszú, ismétlődés nélküli számsorok vagy egyenletek lesznek, vagyis nincs rövid és egyszerű alakjuk. A Leibniz-sorozat egy szép módszer a π előállítására és egyben nagyon titokzatos is, mivel semmit sem árul el a π-ről. Megvizsgálva a sorozatot előtűnik, hogy a matematika az emberi kultúrától függetlenül létezik. Bizonyos, hogy bármely másik világban, amely ismeri a π-t, a Leibniz-sorozat is létezik. Valójában nem Leibniz fedezte fel elsőként a Leibniz-sorozatot. Nilakantha, csillagász, nyelvész és matematikus az indiai Keralában már 1500 körül leírta a sorozatot egy szanszkrit nyelvű költeményben.
−− • −−
Mi a helyzet a decimális számjegyek helyiértékeivel? A π minden további tizedesjegye tízszeres pontossággal közelíti meg a π-t az előző számjegyhez viszonyítva. A számítás során sohasem jósolható meg, hogy a következő tizedesjegy milyen értékű lesz. Lehet 3 vagy 9, esetleg 2? Ugyanannyi a valószínűsége. Ez a megjósolhatatlan folyamat "a π véletlen sétája".
A π nem mozdul, egy fix pont. Az egyenletek "kóvályognak" a π körül. Nincs olyan egyenlet, amely amely elég szilárd vagy elég hegyes ahhoz, hogy tűként pontosan a π-re mutasson. A matematikusok felfedeztek már olyan egyenleteket, amelyek gyorsan közelítenek a π-hez, amelyek esetében minden π körüli ugrássorán hatalmas mértékben nő a pontosság, de hiába, ha a π úgysem érhető el. 1984-ben a Chudnovsky-testvérek felfedezték a saját sorozatukat, amely igen nagy erőkkel támadja a π-t. A Chudnovsky-egyenlet a leggyorsabb máig ismert racionális számokból álló sorozat. Felfedeztek ennél gyorsabb irracionális sorozatokat is, de a gyakorlatban, számítógép-program alakjukban, ezek sokkal lassabbak, mivel az irracionális számok számítógépes kezelése sokkal nehezebb. A Chudnovsky-egyenlet inkább egy tóruszon alapul, mint egy körön, és számos tehetséges számelméleti szaktekintély szerint "rendkívüli szépségű". A sorozat tekintélyes mennyiségű egész számot használ, és egy 1914-ben Srinivasa Ramanujan, indiai matematikus által kidolgozott egyenleten alapul. Ramanujan, Madras felülmúlhatatlan számelméleti géniusza volt. Gregory szerint a Chudnovsky-egyenlet "Ramanujan stílusú" és igazán egyszerű, könnyen programozható, a program csak néhány soros.
1873-ban Georg Cantor, orosz származású matematikus, aki a XIX. század egyik legkiemelkedőbb elméje volt, bebizonyította, hogy a transzcendentális számok halmazának számossága végtelenszer nagyobb, mint az algebrai számok halmazáé. Vagyis a véges algebra számára a legtöbb szám elérhetetlen. Vagyis a legtöbb szám végtelen hosszú és megismerhetetlen. Tehát a legtöbb szám olyan, mint a π.
Cantor bizonyítása akkortájt nagyon felkavaró volt, mivel még nagyon kevés transzcendentális szám volt felfedezve. Legalábbis addig, míg egy évtizeddel ezután Ferdinand Lindemann bebizonyította a π transzcendentális voltát. Addig a matematikusok csak sejtették ezt, de nem tudták alátámasztani. Talán még zavaróbb volt, hogy Cantor nem adott útmutatást a bizonyításában arra nézve, hogy hogyan lehetne abból a rengeteg transzcendentális számból akár egyet is megtalálni. Cantor bemutatott bizonyítása a megszámlálhatatlan mennyiségű transzcendentális szám létezésére, olyan jellegű állításnak tűnt, mint az, hogy a világ mikroszkopikus angyalokkal van tele; egy bizonyítás, amely nem mondja el, milyenek ezek az angyalok és hogyan találhatóak meg; pusztán csak annyit bizonyít, hogy vannak, méghozzá megszámlálhatatlan sokan. Igaz, hogy Cantor bizonyítása nem adott elégséges leírást a transzcendentális számokról, de megmutatta, hogy az algebrai számok (mint a gyök kettő) kevesen vannak és nagyon ritkán helyezkednek el: csupán magányos bóják a transzcendentális számok hatalmas óceánján.
Cantor bizonyítását néhány matematikus kétkedéssel fogadta, először, mert azt sugallta, hogy a legtöbb szám még ismeretlen, másodszor mert hiányzott a módszer, amellyel eldönthető, hogy egy szám transzcendentális-e. Leopold Kronecker, egy idősebb befolyásos matematikus, elutasította Cantor bizonyítását és a számok "felfedezhetőségének" fogalmát. (Egyszer így nyilatkozott: "Isten az egész számokat teremtette, a többit az emberek!") Cantor bizonyítása ellenállt a támadásoknak és ma már vitán felül áll; a matematikusok már számolnak a transzcendentális számokkal, akár Isten, akár az emberek teremtették azokat.
−− • −−
A Chudnovsky-testvérek azt állítják, hogy a π számjegyei közel a valaha felfedezett legjobb véletlen számsorozat. Szerintük nincs az emberiség kezében semmi, ami megjósolhatatlanabb, mint a π tizedesjegyeinek sorrendisége, kivéve talán a rádióaktív sugárzást érzékelő Geiger-Müller számláló kattogásának időközeinek véletlenszerűsége. De a π nem véletlenszám! Valójában, mivel a π egy viszonylag egyszerű egyenlettel előállítható, ezért a π egy szabályos szám. A π csak azért látszik véletlennek, mert a szájegyek sorrendje elképzelhetetlenül komplex. A Ludolph-féle szám egy rögzített eleme a valóságnak, nem egy találomra leírt számsor; minden tizedesjegy megszabott helyre kerül, mint egy, a kör kerületének és átmérőjének hányadosa által a világ végének végtelenségéig írt mondat. A különböző közelítő eljárások mindig ugyanazt a tizedesjegy sorrendet adják. Ha bármely egyetlen tizedesjegy eltér a valóditól, akkor az már nem a π.
− ...az már egy hulladék − David szavaival, − mert a változás végigvonul az azt követő összes hátralévő számjegyen.
− A π egy átkozott jó véletelenszám hamisítvány − mondta Gregory. − Talán jobb volna, ha nem így volna. Az sokkal könnyebbé tenné az életünket.
A háromszáz-milliomodik tizedesjegy környékén megjelenik a 88888888 számsor, nyolc nyolcas egymás után. Jelent ez valamit? Ez csak véletlen zaj. Később tíz hatos is megjelenik: 6666666666. Mit jelenthet? Ugyanaz. Véletlen. Valahol a félmilliárdodik tizedesjegy után: 123456789. Ez is véletlen.
− Nincs igazán jó fogalmunk a véletlenségre − mondta Gregory. − A π sem igazi véletlen szám. Éppenséggel, igazi véletlen számot még senki sem fedezett fel.
Senki sem tudja, mi történik a π mélyebb régióiban. A számok a nulla felé tendálnak? Vagy az öt és a nyolc erősődik? A hetesek kerülnek többségbe? Azt sem tudja senki, hogy eltűnik-e később valamelyik számjegy a számsorból. Például, egy bizonyos határon túl nincs több ötös számjegy. Majdnem bizonyos, hogy a π-ben nem történnek meg a fenti dolgok. Gregory Chudnovsky szerint ez "hülyeség" lenne, a természet viszont nem "hülye". Azonban senki sem tudja bizonyítani vagy cáfolni az alapfeltevést, hogy a számjegyek a π-ben egyenlő megoszlásban fordulnak elő. Ez az úgynevezett "π szabályosság-feltevés". A π szabályosság-feltevés kimondja, hogy átlagosan egyik számjegyből sincs több vagy kevesebb a π-ben. Ha minden számjegy azonos gyakorisággal szerepel, akkor a π egy "szabályos" szám; szabályos a szó matematikai értelme szerint.
− Ez a lehető legegyszerűbb feltevés a π-ről − mondta Gregory. − Abszolút semmi kétség, hogy a π egy szabályos szám. Még nincs bebizonyítva. Még nem tudjuk, hogy lehetne bizonyítani. Még nagyon keveset tudunk a transzcendentális számokról, és ami még rosszabb, hogy a feltevések szaporodásával ez a tudás nemigen növekszik.
Nincs semmi, ami megmutatná a különbséget a négyzetgyök kettő és a π között, ha nagyobb szakaszaikat hasonlítjuk össze; habár a két szám teljesen más matematikai tulajdonságokkal rendelkezik, révén, hogy az egyik algebrai, a másik transzcendentális szám.
−− • −−
